Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n-k（n∈N^*，k∈R）满足：对任意的正整数n都有b_n＜a_n，求k的取值范围
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令cn=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）f（x）≤0的解集有且只有一个元素，所以△=a²-4a=0，a=0或a=4，经验证舍去a=0，得出f（x）=x²-4x+4，从而S_n=n²-4n+4．
（2）b_n=n-k对任意的正整数n都有b_n＜a_n，必有b₁＜a₁，即1-k＜1得出k＞0．当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2得出k＞3，总之有k＞3．
（3）求出数列{c_n}的通项公式，再解c_i•c_i+1＜0作答．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a²-4a=0∴a=0或a=4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式
f（x₁）＞f（x₂）成立．
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式
f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4　　　　（3分）　　　
　f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4　　（4分）
n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-5，
∴an=sn-sn-1=

1&n=1 2n-5&，n≥2

（5分）
（2）∵b_n=n-k对任意的正整数n都有b_n＜a_n，∴b₁＜a₁，即1-k＜1
∴k＞0（6分）
当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2∴k＞3，
∴k＞3（8分）
总之有k＞3（9分）
（3）由题设知cn=

-3，&n=1 1- 4 2n-5 ，&n≥2

（10分）
当n≥2时，
由c_nc_n+1＜0，即

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0，得

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

（12分）
∴n=2或n=4
又∵c₁=-3，c₂=5，∴n=1时也有也有c₁c₂＜0
综上得 数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．（14分）

点评：本题是函数与不等式，数列的综合题．考查逻辑思维、推理论证，运算求解能力．