Question

如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A-BCD．
（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱锥A-BCD的体积为，求AC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据可得由正方形的性质可得AO⊥BD以及BD⊥CO，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD，进而得到结论．
（2）先根据三棱锥的体积求出棱锥的高，再分二面角为钝角和锐角两种情况分别求出AC的长即可．
解答：（本小题满分14分）
解：（1）证明：因为ABCD是正方形，
所以BD⊥AO，BD⊥CO．…（1分）
在折叠后的△ABD和△BCD中，
仍有BD⊥AO，BD⊥CO．…（2分）
因为AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．…（3分）
因为BD?平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD．…（4分）
（2）解：设三棱锥A-BCD的高为h，
由于三棱锥A-BCD的体积为，
所以．…（5分）
因为，所以．…（6分）
以下分两种情形求AC的长：
①当∠AOC为钝角时，如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH为三棱锥A-BCD的高，即．…（7分）
在Rt△AOH中，因为，
所以=．…（8分）
在Rt△ACH中，因为，
则．…（9分）
所以．…（10分）
②当∠AOC为锐角时，如图，过点A作CO的垂线交CO于点H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH为三棱锥A-BCD的高，即．…（11分）
在Rt△AOH中，因为，
所以=．…（12分）
在Rt△ACH中，因为，
则．…（13分）
所以．
综上可知，AC的长为或．…（14分）
点评：本题主要考察面面垂直的判定以及线段长度的计算．一般在证明面面垂直时，常转化为证线线垂直，得线面垂直，进而得到结论．