Question

若直线y=x+m与曲线x=

2y-y2

有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是

0＜m≤2，或m=1-

2

．

Answer 1

分析：曲线x=

2y-y2

代表以点（0，1）为圆心，1为半径的圆的右半圆，而直线y=x+m的斜率为1，截距为m，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得．

解答：解：对x=

2y-y2

平方可得x²+y²-2y=0，整理可得x²+（y-1）²=1，
故曲线x=

2y-y2

代表以点（0，1）为圆心，1为半径的圆的右半圆，
而直线y=x+m的斜率为1，截距为m，在同一个坐标系中作出它们的图象：

由图象可得当直线介于l₁，l₂之间，或为l₃时两图象有且只有一个公共点，
由l₃为相切可得

|0-1+m|

12+(-1)2

=1，解得m=1-

2

，或m=1+

2

，（舍去）
故当0＜m≤2或m=1-

2

时，满足题意，
故答案为：0＜m≤2，或m=1-

2

点评：本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．