Question

已知椭圆x²+4y²=16，直线AB过点 P（2，-1），且与椭圆交于A、B两点，若直线AB的斜率是

1

2

，则|AB|的值为

2

5

．

Answer 1

分析：由椭圆x²+4y²=16，直线AB过点 P（2，-1），且与椭圆交于A、B两点，直线AB的斜率是

1

2

，导出直线AB的方程为x-2y-4=0．联立

x2+4y2=16 x-2y-4=0

，能够求出|AB|．

解答：解：∵椭圆x²+4y²=16，直线AB过点 P（2，-1），
且与椭圆交于A、B两点，直线AB的斜率是

1

2

，
∴直线AB的方程为y+1=

1

2

（x-2），即x-2y-4=0．
联立

x2+4y2=16 x-2y-4=0

，消去x，得y²+2y=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得

x1=4 y1=0

，

x2=0 y2 =-2

，
∴|AB|=

16+4

=2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查弦长公式的应用，是基础题，具体涉及到椭圆的简单性质、直线方程等知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．