题目内容
【题目】已知函数
.
(1)若曲线在
处切线的斜率为
,求此切线方程;
(2)若有两个极值点
,求
的取值范围,并证明:
.
【答案】(1);(2)
,证明见解析.
【解析】分析:(1)由函数的解析式可得,利用
可得
, 则切点为
,切线方程为
.
(2)结合(1)中导函数的解析令,得
.构造函数,令
,则
,利用导函数研究函数的单调性可知
在
递增,在
递减,所以
. 结合题意可得
的取值范围是
. 由极值点的性质可得
不妨设
,则
,
,结合
的单调性可得
,据此有
,即
.
详解:(1)∵,∴
,解得
,
∴,故切点为
,
所以曲线在
处的切线方程为
.
(2),令
,得
.
令,则
,
且当时,
;当
时,
;
时,
.
令,得
,
且当时,
;当
时,
.
故在
递增,在
递减,所以
.
所以当时,
有一个极值点;
时,
有两个极值点;
当时,
没有极值点.
综上,的取值范围是
.
因为是
的两个极值点,所以
即
…①
不妨设,则
,
,
因为在
递减,且
,所以
,即
…②.
由①可得,即
,
由①,②得,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P( | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
【题目】近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.
图1 图2
(1)记“在年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在
”为事件
,试估计
的概率;
(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中(单位:年)表示二手车的使用时间,
(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用
作为二手车平均交易价格
关于其使用年限
的回归方程,相关数据如下表(表中
,
):
5.5 | 8.7 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
①根据回归方程类型及表中数据,建立关于
的回归方程;
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格
的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2017年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.
附注:①对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
;
②参考数据:.