Question

5．在数列{a_n}中，设S₁=a₁+a₂+…+a_n，S₂=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，S₃=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求证：数列S₁，S₂，S₃也是等差数列；
（2）若数列{a_n}是等比数列，是否有第（1）题中类似的结论？

Answer 1

分析 （1）直接利用等差中项的概念结合已知数列{a_n}是等差数列证明；
（2）直接利用定义结合已知数列{a_n}是等比数列证明．

解答 证明：（1）∵S₁=a₁+a₂+…+a_n，S₂=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，S₃=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n．
则2S₂=2（a_n+1+a_n+2+…+a_2n），
S₁+S₃=（a₁+a₂+…+a_n）+（a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n）=（a₁+a_2n+1+a₂+a_2n+2+…+a_n+a_3n），
∵数列{a_n}是等差数列，∴由等差数列的性质得（a₁+a_2n+1+a₂+a_2n+2+…+a_n+a_3n）=2（a_n+1+a_n+2+…+a_2n），
即2S₂=S₁+S₃，∴数列S₁，S₂，S₃也是等差数列；
（2）若数列{a_n}是等比数列，则$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}=\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}+…+{a}_{2n}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{{q}^{n}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}={q}^{n}$，
$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}=\frac{{a}_{2n+1}+{a}_{2n+2}+…+{a}_{3n}}{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}+…+{a}_{2n}}$=$\frac{{q}^{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n+2}+…+{a}_{2n}）}{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}+…+{a}_{2n}}={q}^{n}$，
∴数列S₁，S₂，S₃也是等比数列．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质，关键是熟记性质并用来解决问题，是基础题．