Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x∈[-2，2]}\\{1+{x}^{2}，x∈（2，4]}\end{array}\right.$，若${∫}_{k}^{3}$f（x）dx=$\frac{40}{3}$，则k的值为（　　）

• A． 0
• B． 0或-1
• C． 0或1
• D． -1

Answer 1

分析 根据积分计算公式，求出被积函数的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x∈[-2，2]}\\{1+{x}^{2}，x∈[2，4]}\end{array}\right.$，
当k≥2时，${∫}_{k}^{3}$f（x）dx=${∫}_{k}^{3}$（1+x²）dx=（x+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{k}^{3}$=3+9-k-$\frac{1}{3}$k³=$\frac{40}{3}$，解得k=1，故舍去，
当-2＜k＜2时，则${∫}_{k}^{3}$f（x）dx=${∫}_{2}^{3}$（1+x²）dx+${∫}_{k}^{2}$（2x+1）=（x+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{2}^{3}$+（x²+x）|${\;}_{k}^{2}$=3+9-2-$\frac{8}{3}$+4+2-k²-k=$\frac{40}{3}$，解得k=0或k=-1．
故选：B．

点评 本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．