题目内容
已知左焦点为
的椭圆过点
．过点
分别作斜率为
的椭圆的动弦
，设
分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
为线段
的中点，求
；
（3）若
，求证直线
恒过定点，并求出定点坐标．
的椭圆过点．过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
为线段的中点，求；（3）若
，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．（1）
；（2）
；（3）证明过程详见解析，
.
；（2）；（3）证明过程详见解析，.试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线的斜率、中点坐标等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先利用左焦点
坐标得右焦点
坐标，然后利用定义
，求得
，而
，得
，得出结论，椭圆为；（2）先将点
坐标代入椭圆，两者作差得
，而
代入得，利用韦达定理求
，同理求
，用坐标求
，用
点和点斜式写出直线方程，利用化简，可分析过定点.试题解析：（1）由题意知
设右焦点
2分
椭圆方程为 4分（2）设
则 
① 
② 6分② ①，可得
8分（3）由题意
，设
直线
，即
代入椭圆方程并化简得
10分同理
11分当
时， 直线的斜率
直线
的方程为
又 化简得
此时直线过定点（0，
） 13分当
时，直线即为
轴，也过点（0，）综上，直线过定点
. 14分
练习册系列答案
相关题目
是它的两个顶点，直线
与直线
相交于点D，与椭圆相交于
两点.
，求
的值；
面积的最大值.
的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.
的方程；
与椭圆
，
两点，且线段
的垂直平分线经过点
，求
（
为原点）面积的最大值.
＋
＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为 
共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是（ ）
的一个焦点坐标为
，则其离心率等于 （ ）
＋
＝1(a＞b＞0)上一点，且
·
＝0，tan∠PF1F2＝
则此椭圆的离心率e＝（ ）
，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
