题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线
过椭圆的右焦点
,且与椭圆交与
两点,过线段
的中点与
垂直的直线交直线
于
点,若
为等边三角形,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
或
.
【解析】
试题分析:(1),以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积
,和
可解得
和
,求得椭圆的标准方程;(2)设直线方程为
,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,并且得到AB的中点M的坐标,并表示过线段
的中点与
垂直的直线,求点P的坐标,若
为等边三角形,那么
,求得斜率,得到直线方程.
试题解析:(1)依题意,可得
,得
,
所以所求椭圆的方程为;
(2)直线的方程为
,联立方程组
,
消去并整理得
,
设,得
,
所以,
设的中点
,得
,
得直线的斜率为
,又
,
所以,
当为正三角形时,
,即
,
解得,即直线
的方程为
或
.
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