题目内容
如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
•
=0，求D2+E2-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
| AB |
| AD |
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．
（1）证法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点（0，0）代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边后的值小于0，
于是有F＜0，即证．…（4分）
证法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为
A（a，0），C（c，0），则有ac＜0．
对于圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F．
因为ac＜0，故F＜0．…（4分）
（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=
，因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．…（6分）
又因为
•
=0，所以∠A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，故|BD|=2r=8⇒r=4．…（8分）
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知
+
-F=r2，所以D2+E2-4F=4r2=64．…（10分）
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
则可得点G的坐标为(
，
)，即
=(
，
)．…（12分）
又
=(-A，B)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三点共线，只需证
•
=0即可．
而
•
=
，且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F．…（14分）
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F．
所以，
•
=
=0，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三点共线．…（16分）
于是有F＜0，即证．…（4分）
证法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为
A（a，0），C（c，0），则有ac＜0．
对于圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F．
因为ac＜0，故F＜0．…（4分）
（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=
| |AC|•|BD| |
| 2 |
又因为
| AB |
| AD |
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知
| D2 |
| 4 |
| E2 |
| 4 |
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
则可得点G的坐标为(
| c |
| 2 |
| d |
| 2 |
| OG |
| c |
| 2 |
| d |
| 2 |
又
| AB |
| AB |
| OG |
而
| AB |
| OG |
| bd-ac |
| 2 |
当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F．…（14分）
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F．
所以，
| AB |
| OG |
| bd-ac |
| 2 |
故O、G、H必定三点共线．…（16分）
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