Question

设函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁∈D，存在唯一x₂∈D的使

f(x1)+f(x2)

2

=C（C为常数），则称函数f（x）在D上的均值为C．给出下列四个函数：①y=x²；②y=x；③y=2^x；④y=lgx；则满足其在定义域上均值为2的所有函数是

 

（填写序号）．

Answer 1

分析：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立的函数．
对于函数①y=x²，可直接取任意的x₁∈R，验证求出两个的 x2=±

4- x 2 1

，即可得到成立．故①错；
对于函数②y=x，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
对于函数④y=2^x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．

解答：解：对于函数①y=x²，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=2，x2=±

4- x 1 2

，可以两个的x₂∈D．故不满足条件．
对于函数②y=x，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-4，不成立．
对于函数④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
故答案为②④

点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．