Question

【题目】已知函数，.

（1）设函数，讨论的极值点个数，并求出相应极值；

（2）若，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）极值点个数见解析，相应极值见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出的导函数，对a进行分类讨论求解讨论极值点；

（2）根据导函数得，结合在上单调递增，即可得证.

（1）函数

，

∴

，

令，解得或，

当时，；当时，.

①若时，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，有2个极值点.

∴当时，函数有极小值，极小值为；

当时，函数有极大值，极大值为.

②当时，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点，

∴当时，函数有极大值，极大值为；

当时，函数有极小值，极小值为.

③当时，，

∴在R上单调递增，无极值点，故无极值.

（2）∵，

又，

∴，

又在上单调递增，

∴时，有，

∴.