Question

设函数f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求三个未知数，需要三个条件，一是定义域要关于原点对称，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增可解．
（2）用单调性定义来探讨，先在给定的区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，在与0比较中出现讨论，再进一步细化区间，确定后即为所求的单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
故f（x）的定义域关于原点对称
又f（x）的定义域为{x|x≠-

c

b

}（显然b≠0，否则f（x）为偶函数）
∴-

c

b

=0，即c=0
于是得f(x)=

a

b

x+

1

bx

，且

a+1

b

=2，

4a+1

2b

＜3
∴

8b-3

2b

＜3
∴0＜b＜

3

2

又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增

（2）由（1）知f(x)=x+

1

x

，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-1)
①当-1＜x₁＜x₂＜0时，显然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）为减函数
②当x₁＜x₂＜-1时，显然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）为增函数
综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．

点评：本题主要考查函数利用奇偶性和函数值，单间性来求解析式，在研究单调性中分类讨论的思想应用．