Question

设函数f(x)=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）欲求函数f（x）的解析式，只须求出切线斜率的值及f（2），列出方程组即可；
（2）先求出函数的导数，再根据导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．

解答：解：（1）方程7x-4y-12=0可化为y=

7

4

x-3．
当x=2时，y=

1

2

．又f′(x)=a+

b

x2

，
于是

2a- b 2 = 1 2 a+ b 4 = 7 4

解得

a=1 b=3

，故f(x)=x-

3

x

．
（2）由f(x)=x-

3

x

得：f′（x）=1+

3

x2

，当x≠0时，恒大于0，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是单调递增函数．

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间．属于基础题．