题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求证:
;
(2)讨论函数的零点的个数。
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)将代入函数的表达式,求出f′(x),解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,得到最小值,即可证明
;
(2)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,从而求出函数的单调区间,得到函数的极值,进而求出函数的零点的个数.
(1)证明:当时,
,则
.
由.得
.
当时,
;当
时,
,
所以函数在区间
内是减函数.在区间
内是增函数,
所以是
的极小值点,也是最小值点.且
,
故当时.
恒成立.
(2)解:据题意,得.
①当时,
恒成立.则函数
在
上是减函数。
又,所以函数
有且只有一个零点.
②当时.由
,得
.
当时,
;
当时,
,
所以在区间
内是减函数,在区间
内是增函数.
所以是函数
的极小值点,也是最小值点,
即.
令,
则,
当时,
;
当时,
;
当时,
,
所以函数在区间
内是增函数,在区间
内是减函数,
从而是函数
的极大值点.也是最大值点,所以
,
即(当且仅当
时取等号)
当,即
时,函数
只有一个零点
当,即
,且
时,分
和
两种情况讨论:
(i)当时,
,因为
,所以
在区间
内有一个零点;又
,因此
有两个零点.
(ii)当时,
;
由(1),得.即
,亦即
.
令.则得
,即
,
所以,
所以在区间
内有一个等点.
又,
因此函数有两个零点.
由(i)和(ii),得当或
时,函数
有两个零点.
综上,当或
时,函数
只有一个零点;
当.且
时,函数
有两个零点。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好