题目内容
【题目】对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）－g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．
（1）求f（x）＝sinx（x∈R），g（x）＝cosx（x∈R）的差距；
（2）设f（x）＝
（x∈[1,
]），g（x）＝mlnx （x∈[1,]）．（e≈2.718）
①若m＝2，且||f（x），g（x）||＝1，求满足条件的最大正整数a；
②若a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2） ①3．②{
－2，＋2}．
【解析】
试题（1）由定义知求|sinx－cosx|最大值，根据三角函数配角公式得|sinx－cosx|＝|sin（x－
）|≤，所以差距为（2） ①根据定义先研究函数h（x）＝f（x）－g（x）＝
－2lnx单调性：（0,16）上单调减，（16,＋∞）上单调增，因为h（1）＝1，所以h（
）
－1，因此
②由定义得－mlnx|≤2恒成立，利用变量分离法得
对x∈（1，e]恒成立，分别利用导数求函数w（x）＝
最小值及函数v（x）＝
最大值即可
试题解析：（1）|f（x）－g（x）|＝|sinx－cosx|＝|sin（x－）|≤，当x＝kπ＋
，k∈Z时取“＝”，所以||f（x），g（x）||＝
（2）①令h（x）＝f（x）－g（x）＝－2lnx．则h′（x）＝
，令h′（x）＝0，则x＝16．列表：
x | （0,16） | 16 | （16,＋∞） |
h′（x） | － | 0 | ＋ |
h（x） | ↘ | ↗ |
∵h（1）＝1；当a＝3时，h（）＝
－3，由于
＞16，因此＞2，所以－3＞－1；
当a＝4时，h（）＝e－4＜－1，故满足条件的最大正整数为3．
②法一：由a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，得|f（x）－g（x）|≤2，从而|－mlnx|≤2，所以－2≤－mlnx≤2．
当x＝1时，上式显然成立；
当x∈（1，e]时，上式化为
令w（x）＝，则w′（x）＝
＜0，
从而w（x）在（1，e]上递减，从而w（x）min＝w（e）＝＋2，从而m≤＋2；
令v（x）＝，则v′（x）＝
＞0，
从而v（x）在（1，e]上递增，从而v（x）max＝v（e）＝－2，从而m≥－2，
所以－2≤m≤＋2
又由于||f（x），g（x）||＝2，故m＝－2或m＝＋2，所以m的取值范围为{－2，＋2}．
法二：令h（x）＝f（x）－g（x）＝－mlnx，则h′（x）＝
．
（1）若m≤
，则h′（x）≥0，从而h（x）在[1,e]上递增，又h（1）＝1，h（e）＝－m，所以－m＝2，m＝－2；
（ii）若m≥
，则h′（x）≤0，从而h（x）在[1,e]上递减，又h（1）＝1，h（e）＝－m，所以－m＝－2，m＝－2；
（iii）若＜m＜，则由h′（x）＝0，可得x＝4m2，列表
x | 1 | （1, 4m2） | 4m2 | （4m2,e） | e |
h′（x） | － | 0 | ＋ | ||
h（x） | 1 | ↘ | 2m－mln（4m2） | ↗ |
|
因为－m＜－＜2，所以2m－mln（4m2）＝－2，．
令u（m）＝2m－mln（4m2）＝m（2－ln4）－2mlnm
∴u′（m）＝2－ln4－2－2lnm＝－ln4－2lnm＝－2 ln2m＜0，
∴u（m）＞u（）＝－＝，故该情况不成立．
综上，m的取值范围是{－2，＋2}．
【题目】人们随着生活水平的提高，健康意识逐步加强，健身开始走进人们生活，在健身方面投入越来越多，为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况，研究人员在
地区随机抽取了参加健身的青年男性、女性各50名，将其花费统计情况如下表所示：
分组（花费） | 频数 |
| 6 |
| 22 |
| 25 |
| 35 |
| 8 |
| 4 |
男性 | 女性 | 合计 | |
健身花费不超过2400元 | 23 | ||
健身花费超过2400元 | 20 | ||
合计 |
（1）完善二联表中的数据；
（2）根据表中的数据情况，判断是否有99%的把握认为健身的花费超过2400元与性别有关；
（3）求这100名被调查者一年健身的平均花费（同一组数据用该区间的中点值代替）.
附：
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |