题目内容
(本小题共14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA // 平面BMQ;
(Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值 .
证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN. ……………………1分
∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.
∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,
又∵点M在是棱PC的中点,
∴ MN // PA ……………………2分
∵ MN平面MQB,PA平面MQB,…………………3分
∴ PA // 平面MBQ. ……………………4分
(Ⅱ)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . ……………………6分
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD, ……………………7分
∴BQ⊥平面PAD. ……………………8分
∵BQ平面PQB,
∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………9分
另证:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点
∴ BC // DQ 且BC= DQ,
∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. ……………………6分
∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ……………………7分
∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. ……………………8分
∵ AD平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………9分
(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD.……10分
(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的法向量为;
,,,.………11分
设,
则,,
∵,
∴ , ∴ ……………………12分
在平面MBQ中,,,
∴ 平面MBQ法向量为. ……………………13分
∵二面角M-BQ-C为30°, ,
∴ . ……………………14分
【解析】略