题目内容
【题目】如果函数的定义域为
,且存在实常数
,使得对于定义域内任意
,都有
成立,则称此函数
具有“性质
”.
(1)判断函数是否具有“
性质”,若具有“
性质”,求出所有
的值的集合,若不具有“
性质”,请说明理由;
(2)已知函数具有“
性质”,且当
时,
,求函数
在区间
上的值域;
(3)已知函数既具有“
性质”,又具有“
性质”,且当
时,
,若函数
的图像与直线
有2017个公共点,求实数
的值.
【答案】(1);(2)
,函数
的值域为
;
,函数
的值域为
;
,函数
的值域为
;
,函数
的值域为
;(3)
.
【解析】
(1)根据题意可知,由待定系数法可求得
;
(2)由新定义可推出为偶函数,从而求出
在
上的解析式,讨论m与
的关系判断
的单调性得出
的最值;
(3)根据新定义可知为周期为2的偶函数,作出
的函数图象,根据函数图象得出p的值.
(1)假设具有“
性质”,则
恒成立,
等式两边平方整理得,,因为等式恒成立,
所以,解得
,
则所有的值的集合为
;
(2)因为函数具有“
性质”,
所以恒成立,
是偶函数.
设,则
,
.
①当时,函数
在
上递增,值域为
.
②当时,函数
在
上递减,在
上递增,
,
,值域为
.
③当时,
,
,值域为
.
④时,函数
在
上递减,值域为
.
(3)既具有“
性质”,即
,
函数
为偶函数,
又既具有“
性质”,即
,
函数
是以2为周期的函数.
作出函数的图象如图所示:
由图象可知,当时,函数
与直线
交于点
,即有无数个交点,不合题意.
当时,在区间
上,函数
有1008个周期,要使函数
的图象与直线
有2017个交点,
则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点,且第2017个交点恰好为,所以
,
同理,当时,
,
综上,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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