Question

【题目】已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1．

（1）试求常数a、b、c的值；

（2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

Answer 1

【答案】略

【解析】

试题分析由f′（1）=0， f′（-1）=0， f（－1）=1，联立得a=．根据函数的单调性确定极值情况可求得结果．

试题解析：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c

∵x=±1是函数f（x）的极值点，

∴x=±1是方程f′（x）=0，即3ax2+2bx+c=0的两根．

① ②

由根与系数的关系，得又f（1）=－1，∴a+b+c=－1， ③

由①②③解得a=，

（2）f（x）=x3－x，

∴f′（x）=x2－=（x－1）（x+1）

当x＜－1或x＞1时，f′（x）＞0

当－1＜x＜1时，f′（x）＜0

∴函数f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上是增函数，在（－1，1）上是减函数．

∴当x=－1时，函数取得极大值f（－1）=1，

当x=1时，函数取得极小值f（1）=－1．