Question

某学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性抽取3道题，规定至少正确完成其中2道题便可通过，已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）求甲正确完成的题数ξ的分布列及期望；求乙正确完成的题数η的分布列及期望；
（2）请用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平．

Answer 1

解：（1）随机变量ξ的所有可能值为1，2，3，
且P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
所以ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P

所以E（ξ）=．
随机变量η的所有可能值为0，1，2，3，且P（η=k）=，k=0，1，2，3，
所以P（η=0）=，
P（η=1）=，
P（η=2）=，
P（η=3）=，
∴η的分布列为

η	0	1	2	3
P

所以E（η）=0×+1×+2×+=2．
（2）由于随机变量ξ，η的期望相同，所以考虑随机变量ξ，η的方差，
D（ξ）=（2-1）²×+（2-2）+=，
D（η）=+，
∴D（ξ）＜D（η），所以，从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好．
分析：（1）随机变量ξ的所有可能值为1，2，3，且P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（2）变量η的所有可能值为0，1，2，3，且P（η=k）=，D（ξ）=（2-1）²×+（2-2）+=，D（η）=+，所以，从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．