Question

1．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示，
（Ⅰ）请画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x），x∈R的单调减区间；
（Ⅱ）写出函数f（x），x∈R的解析式；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值h（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数图象的对称性，补全f（x）的图象，并写出函数的单调减区间；
（2）利用函数的奇偶性和已知的x≤0时解析式，求出函数在x＞0时的解析式，得到本题结论；
（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的值域，得到本题结论．

解答 解：（Ⅰ）图象如图所示，单调减区间是（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∵当x≤0时，f（x）=x²+2x，
∴当x＞0时，-x＜0，
f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+（-x）]=-x²+2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$．
（3）∵函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，
∴g（x）=-x²+（2-2a）x+2，x∈[1，2]，
当1-a≤1时，[g（x）]_max=g（1）=3-2a；
当1＜1-a≤2时，[g（x）]_max=g（1-a）=a²-2a+3；
当1-a＞2时，[g（x）]_max=g（2）=2-4a．
∴[g（x）]_max=$\left\{\begin{array}{l}{3-2a，a≥0}\\{{a}^{2}-2a+3，-1≤a＜0}\\{2-4a，a＜-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的值域，本题难度不大，属于中档题．