题目内容
已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.(1)求直线l1的方程;
(2)设圆O与x轴相交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
【答案】分析:(1)由已知中直线l1过点A(3,0),我们可以设出直线的点斜式方程,化为一般式方程后,代入点到直线距离公式,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,可以求出k值,进而得到直线l1的方程;
(2)由已知我们易求出P,Q两个点的坐标,设出M点的坐标,我们可以得到点P′与Q′的坐标(含参数),进而得到以P′Q′为直径的圆的方程,根据圆的方程即可判断结论.
解答:解:(1)由题意,可设直线l1的方程为y=k(x-3),
即kx-y-3k=0…(2分)
又点O(0,0)到直线l1的距离为
,解得
,
所以直线l1的方程为
,
即
或
…(5分)
(2)对于圆O的方程x2+y2=1,令x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).
又直线l2方程为x=3,设M(s,t),则直线PM方程为
.
解方程组
,得
,
同理可得:
.…(9分)
所以圆C的圆心C的坐标为
,半径长为
,
又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=1.故圆心C为
,半径长
.
所以圆C的方程为
,…(11分)
即
=0
即
,
又s2+t2=1
故圆C的方程为
所以圆C经过定点,y=0,则x=
,
所以圆C经过定点且定点坐标为
(15分)
点评:本题考查的知识是直线和圆的方程的应用,其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时,点到直线的距离与半径的关系,弦长公式等是解答本题的关键.
(2)由已知我们易求出P,Q两个点的坐标,设出M点的坐标,我们可以得到点P′与Q′的坐标(含参数),进而得到以P′Q′为直径的圆的方程,根据圆的方程即可判断结论.
解答:解:(1)由题意,可设直线l1的方程为y=k(x-3),
即kx-y-3k=0…(2分)
又点O(0,0)到直线l1的距离为
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所以直线l1的方程为
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即
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(2)对于圆O的方程x2+y2=1,令x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).
又直线l2方程为x=3,设M(s,t),则直线PM方程为
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解方程组
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同理可得:
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所以圆C的圆心C的坐标为
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又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=1.故圆心C为
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所以圆C的方程为
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即
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即
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又s2+t2=1
故圆C的方程为
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所以圆C经过定点,y=0,则x=
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所以圆C经过定点且定点坐标为
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点评:本题考查的知识是直线和圆的方程的应用,其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时,点到直线的距离与半径的关系,弦长公式等是解答本题的关键.
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