Question

已知函数y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求最大值，及当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）求函数的对称轴方程
（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和两角和差的正弦余弦公式即可得出解析式，再利用当且仅当sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，函数y取得最大值

1

2

×1+

5

4

=

7

4

．即可得出；
（2）利用三角函数的图象变换法则即可得出．

解答：解：（1）函数y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

2

×

1

2

×sin2x+1=

1

2

(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+

5

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

．
∴当且仅当sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

6

(k∈Z)时，函数y取得最大值

1

2

×1+

5

4

=

7

4

．此时自变量x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）由sin(2x+

π

6

)=±1，得到2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），∴函数的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
（3）由y=sinx（x∈R）的图象经过向左平移

π

6

个单位长度得到y=sin(x+

π

6

)；再把横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变得到y=sin(2x+

π

6

)；
把纵坐标变为原来的

1

2

得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)；再把图象向上平移

5

4

单位即可得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的图象．

点评：本题考查了倍角公式和两角和差的正弦余弦公式、三角函数的图象与性质、图象变换等基础知识与基本方法，属于中档题．