题目内容
已知椭圆
经过点
,且其右焦点与抛物线
的焦点
重合,过点
且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
两点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设O为坐标原点,线段
上是否存在点
,使得
?
若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)过点
且不垂直于
轴的直线与椭圆交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,
试证明:直线
过定点.






(1)求椭圆

(2)设O为坐标原点,线段



若存在,求出

(3)过点






试证明:直线

(1)
(2)存在,
(3)详见解析

(2)存在,

(3)详见解析
解:(1)由题意,得:
所以
, 解,得
,所以椭圆的方程为:
;
(2)设直线
的方程为:
,代入
,得:
恒成立.
设
线段
的中点为
,
则
,
由
得:
,
所以直线
为直线
的垂直平分线,
直线
的方程为:
,
令
得:
点的横坐标
,
因为
, 所以
,所以
.
所以线段
上存在点
使得
,其中
.
证明:设直线
的方程为:
,代入
,得:
,
由
,得:
,
设
,则
,
则直线
的方程为
,
令
得:
,
所以直线
过定点
.

所以



(2)设直线





设



则

由


所以直线


直线


令



因为



所以线段




证明:设直线




由


设


则直线


令



所以直线



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