题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1F2，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF1|、|PF2|成等比数列，则其离心率的取值范围是（　　）
A、[
2
，+∞）
B、（1，
2
]
C、[1+
2
，+∞）
D、（1，1+
2
]
分析：根据双曲线的定义可知PF2|=|PF1|+2a=，进而根据d，|PF1|，|PF2|成等比数列推断|PF2|=e|PF1|，结合：|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，可得e2-2e-1≤0，从而可求离心率e的范围．
解答：解：∵|PF1|2=d•|PF2|，∴
|PF1|
d
=
|PF2|
|PF1|
=e，即|PF2|=e|PF1|…①，
又|PF2|-|PF1|=2a…②．
由①②解得：|PF1|=
2a
e-1
，|PF2|=
2ae
e-1
，
又在焦点三角形F1PF2中：|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
即：
2a(e+1)
e-1
≥2c，即e2-2e-1≤0，
解得：1-
2
≤e≤1+
2
，又e＞1，∴1＜e≤1+
2
，
故选D．
点评：本题主要考查双曲线的定义及性质，有一定的综合性．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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