题目内容
【题目】过双曲线(
,
)的右焦点
作圆
的切线,切点为
.直线
交抛物线
于点
,若
(
为坐标原点),则双曲线的离心率为( )
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
如图,由得
是
的中点,设抛物线的焦点为
,则
为
,也是双曲线的焦点,连接
分别是
和
的中点,
为
的中位线,
于是可得
,设
,则由抛物线定义得
,于是有
代入抛物线方程
,过点
作
轴的垂线,由抛物线定义知点
到该垂线的距离为
,由勾股定理得
,即
,变形可得
,两边同除以
,有
,所以
(负值已经舍去),故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于
的等式,从而求出
的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于
的等式,最后解出
的值.
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