Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），Q是椭圆C上的点，连接PQ交椭圆C于另一点E，求直线PQ的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得e=

c

a

=

3

2

可得a，c的关系，然后由圆心到直线x-y+

2

=0的距离d=

2

2

=1=b可求b，结合a²=b²+c²进而可求椭圆方程
（2）由题意可设直线方程为y=k（x-4），由方程

y=k(x-4) x2 4 +y2=1

可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，则△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，解不等式可求

解答：解：（1）由题意可得e=

c

a

=

3

2

即c²=

3

4

a²
∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为与直线x-y+

2

=0相切．
∴圆心到直线x-y+

2

=0的距离d=

2

2

=1=b
∵a²=b²+c²=1+

3a2

4

∴a=2，b=1
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（2）由题意可得，所求的直线的斜率k一定存在，故可设直线方程为y=k（x-4）
联立方程

y=k(x-4) x2 4 +y2=1

可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0
∴△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0
∴-

3

6

＜k＜

3

6

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，处理此类问题常用的方法是联立方程，结合方程的思想进行求解