题目内容

已知函数f(x)=logm
1+x
x-1
(其中m>0且m≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)当0<m<1时,判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
(1)∵f(x)=logm
1+x
x-1

1+x
x-1
>0,
解得-1<x<1;
∴函数f(x)的定义域是(-1,1);
又f(-x)=logm
1-x
-x-1

=logm
x-1
x+1

=logm(
1+x
x-1
)
-1

=-logm
1+x
x-1

=-f(x),
∴f(x)是定义域上的奇函数;
(2)当0<m<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数;
证明如下:设任意的1<x1<x2
∵f(x)=logm
1+x
x-1

=logm
x-1+2
x-1

=logm(1+
2
x-1
),
∴0<x1-1<x2-1,
1
x1-1
1
x2-1
>0,
∴1+
2
x1-1
>1+
2
x2-1
>1;
又∵0<m<1,
∴logm(1+
2
x1-1
)<logm(1+
2
x2-1
),
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网