题目内容
已知函数f(x)=logm
(其中m>0且m≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)当0<m<1时,判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
1+x |
x-1 |
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)当0<m<1时,判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
(1)∵f(x)=logm
,
∴
>0,
解得-1<x<1;
∴函数f(x)的定义域是(-1,1);
又f(-x)=logm
=logm
=logm(
)-1
=-logm
=-f(x),
∴f(x)是定义域上的奇函数;
(2)当0<m<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数;
证明如下:设任意的1<x1<x2,
∵f(x)=logm
=logm
=logm(1+
),
∴0<x1-1<x2-1,
∴
>
>0,
∴1+
>1+
>1;
又∵0<m<1,
∴logm(1+
)<logm(1+
),
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
1+x |
x-1 |
∴
1+x |
x-1 |
解得-1<x<1;
∴函数f(x)的定义域是(-1,1);
又f(-x)=logm
1-x |
-x-1 |
=logm
x-1 |
x+1 |
=logm(
1+x |
x-1 |
=-logm
1+x |
x-1 |
=-f(x),
∴f(x)是定义域上的奇函数;
(2)当0<m<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数;
证明如下:设任意的1<x1<x2,
∵f(x)=logm
1+x |
x-1 |
=logm
x-1+2 |
x-1 |
=logm(1+
2 |
x-1 |
∴0<x1-1<x2-1,
∴
1 |
x1-1 |
1 |
x2-1 |
∴1+
2 |
x1-1 |
2 |
x2-1 |
又∵0<m<1,
∴logm(1+
2 |
x1-1 |
2 |
x2-1 |
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.

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