Question

（2012•虹口区二模）已知：曲线C上任意一点到点F

1，0

的距离与到直线x=-1的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F

1，0

作直线交曲线C于M，N两点，若|MN|长为

16

3

，求直线MN的方程；
（3）设O为坐标原点，如果直线y=k（x-1）交曲线C于A、B两点，是否存在实数k，使得

OA

•

OB

=0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据曲线C上任意一点到点F

1，0

的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线为抛物线，焦点在x轴上，且p=2，从而可得曲线C的方程；
（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设MN：y=k（x-1），代入y²=4x，利用|MN|长为

16

3

，建立方程，即可求得直线MN的方程；
（3）将y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，验证x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，故不存在满足条件的k．

解答：解：（1）∵曲线C上任意一点到点F

1，0

的距离与到直线x=-1的距离相等
∴曲线为抛物线，焦点在x轴上，且p=2
∴曲线C的方程为y²=4x…（4分）
（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意．…（5分）
当直线MN的斜率存在时，设MN：y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0…（7分）
记M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，x1+x2=

2(k2+2)

k2

，
∵|MN|长为

16

3

，
∴

16

3

=

1+k2

•

[ 2(k2+2) k2 ]2-4

，
解得k=±

3

…（10分）
∴直线MN：y=±

3

(x-1)…（11分）
（3）将y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，x1+x2=

2(k2+2)

k2

，…（13分）∴y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4…（15分）
∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，
∴

OA

•

OB

≠0，∴不存在满足条件的k．…（18分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查曲线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是直线与抛物线联立，利用韦达定理进行解题．