Question

（2012•虹口区二模）已知：函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间

2，3

上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈

-1，1

时恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由二次函数g（x）=ax²-2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得

a＞0 g(2)=1+b=1 g(3)=3a+b+1=4

，或 

a＜0 g(2)=1+b=4 g(3)=3a+b+1=1

，解得a、b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（2）不等式即 k≤(

1

2x

)2-2•(

1

2x

)+1，在x∈

-1，1

时，设t=

1

2x

∈

1 2 ，2

，则k≤（t-1）²，
根据（t-1）²_min＞0，求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）由于二次函数g（x）=ax²-2ax+1+b的对称轴为x=1，
由题意得：1°

a＞0 g(2)=1+b=1 g(3)=3a+b+1=4

，解得

a=1 b=0

．
或  2°

a＜0 g(2)=1+b=4 g(3)=3a+b+1=1

，解得

a=-1 b=3＞1

．（舍去） 
∴a=1，b=0…（6分）
故g（x）=x²-2x+1，f(x)=x+

1

x

-2． …（7分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0，即2x+

1

2x

-2≥k•2x，∴k≤(

1

2x

)2-2•(

1

2x

)+1．…（10分）
在x∈

-1，1

时，设t=

1

2x

∈

1 2 ，2

，∴k≤（t-1）²，
由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即

1

2

≤t≤2，且t≠1．
∵（t-1）²_min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（-∞，0]．…（14分）

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，属于中档题．