Question

（2012•河西区二模）已知a＞0，函数f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）当a=1时，求f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=

4x2-7

2-x

是否存在实数a≥1，使得对于任意x₁∈[0，1]总存在x₀∈[0，1]满足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，求出f（2），切线斜率为k=f′（2），利用点斜式可得切线方程；
（2）f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），分0＜a＜1，a≥1两种情况进行讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）问题等价于f（x）的值域为g（x）的值域的子集，由（2）易求f（x）的值域，利用导数可求g（x）的值域，根据集合包含关系可得不等式组，若有解则存在，无解则不存在；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x-2，f（2）=0，
f′（x）=3x²-3，f′（2）=9，
所以f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-0=9（x-2），即9x-y-18=0；
（2）f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
令f′（x）=0，解得x=a或-a，
因为a＞0，所以a＞-a，
当0＜a＜1时，x∈[0，1]，
令f′（x）＞0，得a＜x≤1，所以f（x）在[a，1]上为增函数，令f′（x）＜0，得0≤x＜a，所以f（x）在[0，a]上为减函数；
当a≥1时，x∈[0，1]，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上为减函数；
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[a，1]上为增函数，在[0，a]上为减函数；当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数；
（3）由（2）可知，当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数，
所以f（x）∈[1-3a²-2a，-2a]，
又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，
令g′（x）＞0，得

1

2

＜x＜

7

2

，所以g（x）在[

1

2

，1]上单调递增；令g′（x）＜0，得x＜

1

2

或x＞

7

2

，
所以f（x）在[0，

1

2

]上单调递减；
所以g（x）∈[-4，-3]，
假设存在实数a，使得对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]满足f（x₁）=g（x₀），
则

1-3a2-2a≥-4 -2a≤-3

，化简得

- 5 3 ≤a≤1 a≥ 3 2

，不等式无解，
所以这样的实数a不存在．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．