Question

（2012•台州模拟）已知函数f（x）=log₂（ax²+2x-3a）．
（Ⅰ）当a=-1时，求该函数的定义域和值域；
（Ⅱ）如果f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f（x）=log₂（ax²+2x-3a），令-x²+2x+3＞0，解得-1＜＜x＜3，可得函数f（x）的定义域，确定真数的范围，可得函数f（x）的值域；
（2）f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立等价于ax²+2x-3a-2≥0在区间[2，3]上恒成立，分离参数，构造函数，确定函数的最值，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=log₂（ax²+2x-3a）．
令-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3
所以函数f（x）的定义域为（-1，3）．
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函数f（x）的值域为（-∞，2]（6分）
（2）f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立等价于ax²+2x-3a-2≥0在区间[2，3]上恒成立
由ax²+2x-3a-2≥0且x∈[2，3]时，x²-3＞0，得a≥

2-2x

x2-3

令h(x)=

2-2x

x2-3

，则h′（x）=

2x2-4x+6

(x2-3)2

＞0
所以h（x）在区间[2，3]上是增函数，所以h（x）_max=h（3）=-

2

3

因此a的取值范围是[-

2

3

，+∞）．（12分）

点评：本题考查函数的定义域与值域，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．