Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（π-x），1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）+1，求g（x）对称轴及最大值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质可得：函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-x）+sinx，化简再利用sinx的单调性即可得出．
（2）g（x）=$（\sqrt{3}+1）$$sin（x-\frac{π}{6}）$+1，由x-$\frac{π}{6}$=$kπ+\frac{π}{2}$，即可得出g（x）对称轴，当$sin（x-\frac{π}{6}）$=1时，函数g（x）取得最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sin（π-x）+sinx
=$（\sqrt{3}+1）$sinx．
∴f（x）的单调递减区间为$[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）+1=$（\sqrt{3}+1）$$sin（x-\frac{π}{6}）$+1，
由x-$\frac{π}{6}$=$kπ+\frac{π}{2}$，解得x=$kπ+\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
∴g（x）对称轴为x=$kπ+\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
当$sin（x-\frac{π}{6}）$=1时，函数g（x）取得最大值：g（x）_max=$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．