题目内容
已知数列{an}中a1=2，当n≥2时，an=
，求数列{an}的通项公式．
| 7an-1-3 | 3an-1+1 |
分析：先计算出前几项，再进行归纳猜想，证明．
解答：解：已知数列{an}中a1=2，当n≥2时，an=
，
所以a2=
，
a3=
=
a4=
…
猜想an=
①当n=1时，显然成立．
②假设n=k（k≥1）时成立，即ak=
，
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
由①②知，an=
| 7an-1-3 |
| 3an-1+1 |
所以a2=
| 11 |
| 7 |
a3=
| 7 |
| 5 |
| 14 |
| 10 |
a4=
| 17 |
| 13 |
…
猜想an=
| 3n+5 |
| 3n+1 |
①当n=1时，显然成立．
②假设n=k（k≥1）时成立，即ak=
| 3k+5 |
| 3k+1 |
则当n=k+1时，ak+1=
| 7ak-3 |
| 3ak+1 |
| 3k+11 |
| 3k+7 |
| 3(k+1)+5 |
| 3(k+1)+3 |
由①②知，an=
| 3n+5 |
| 3n+1 |
点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时注意合理地进行猜想和数学归纳法的灵活运用．
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