题目内容

数列{a_n}的通项公式为a_n= $数学公式$ （n∈N^），设f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n）．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求f（n）的表达式；
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2f（n）-1，它的前n项和为g（n），求证：当n∈N^时，g（2ⁿ）- $数学公式$ ≥1．

解：（1）f（1）= $\text{[math]}$ ，f（2）= $\text{[math]}$ ，f（3）= $\text{[math]}$ ，f（4）= $\text{[math]}$ ．
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），
两式相除得：
$\text{[math]}$ =1-a_n=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n＞1）．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴f（n）= $\text{[math]}$ （n＞1），又f（1）= $\text{[math]}$ 适合此式，
∴f（n）= $\text{[math]}$ ．
（3）b _n+1=2f（n）-1= $\text{[math]}$ ，
g（n）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，
∴g（2ⁿ）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．
设∅（n）=f（2ⁿ）- $\text{[math]}$ ，
则∅（n）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．
∅（n+1）-∅（n）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ 的项数为2ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∅（n+1）-∅（n）＞0．即数列{∅（n）}是单调递增数列．
其最小值为∅（1）=g（2）- $\text{[math]}$ =1
∴∅（n）≥1即g（2ⁿ）- $\text{[math]}$ ≥1．
分析：（1）直接利用数列{a_n}的通项公式为a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*），分别令n=1，2，3，4．即可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），两式相除得：
即可得出f（n）的表达式；
（3）先利用题中条件得出g（2ⁿ）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．再设∅（n）=f（2ⁿ）- $\text{[math]}$ ，研究它的单调性，即数列{∅（n）}是单调递增数列，从而求得其最小值为∅（1），从而得到∅（n）≥1即得g（2ⁿ）- $\text{[math]}$ ≥1．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列的函数特性、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．