Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，
（1）求数列{a_n}的通项公a_n
（2）若记bn=(2n+1)•(

1

Sn

+2)，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，可得2S_n+1+S_n+1-S_n+4S_n+1S_n=0即3S_n+1-S_n+4S_nS_n+1=0变形可得，

1

Sn+1

-

3

Sn

=4，从而可得{

1

Sn

+2}为等比数列，可求S_n，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求a_n
（2）由（1）知，bn=(2n+1)•(

1

Sn

+2)=（2n+1）•3ⁿ，利用乘公比错位相减法求和

解答：解：（1）∵2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0
∴2S_n+1+S_n+1-S_n+4S_n+1S_n=0
即3S_n+1-S_n+4S_nS_n+1=0
两边同时除以S_nS_n+1可得，

1

Sn+1

-

3

Sn

=4
从而可得，

1

Sn+1

+2=3(

1

Sn

+2)，

1

S1

+2=3
∴{

1

Sn

+2}以3为首项，以3为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，

1

Sn

+2=3ⁿ
∴Sn=

1

3n- 2

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

3n-2

-

1

3n-1-2

a₁=1不适合上式
故an=

1，n=1 1 3n-2 - 1 3n-1-2 ，n≥2

，n∈N*
（2）由（1）知，bn=(2n+1)•(

1

Sn

+2)=（2n+1）•3ⁿ
∴T_n=3•3¹+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ
∴3T_n=3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹
两式相减可得，-2T_n=9+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
整理可得，T_n=n•3ⁿ⁺¹

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解决问题的关键是根据已知条件构造等比数列，二乘公比错位相减求数列的和是数列部分的重要方法，要注意掌握．