题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，
（1）求数列{a_n}的通项公a_n
（2）若记 $数学公式$ ，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

解：（1）∵2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0
∴2S_n+1+S_n+1-S_n+4S_n+1S_n=0
即3S_n+1-S_n+4S_nS_n+1=0
两边同时除以S_nS_n+1可得， $\text{[math]}$
从而可得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 以3为首项，以3为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得， $\text{[math]}$ =3ⁿ
∴ $\text{[math]}$
当n≥2时， $\text{[math]}$
a₁=1不适合上式
故 $\text{[math]}$
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ =（2n+1）•3ⁿ
∴T_n=3•3¹+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ
∴3T_n=3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹
两式相减可得，-2T_n=9+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
整理可得，T_n=n•3ⁿ⁺¹
分析：（1）由2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，可得2S_n+1+S_n+1-S_n+4S_n+1S_n=0即3S_n+1-S_n+4S_nS_n+1=0变形可得， $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ 为等比数列，可求S_n，利用 $\text{[math]}$ 可求a_n
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ =（2n+1）•3ⁿ，利用乘公比错位相减法求和
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解决问题的关键是根据已知条件构造等比数列，二乘公比错位相减求数列的和是数列部分的重要方法，要注意掌握．