Question

选修4－1：几何证明选讲

D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD、AB的长是关于x的方程x²－14x＋mn＝0的两个根．

(1)证明：C、B、D、E四点共圆；

(2)若∠A＝90°，，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圆的半径．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， 　　 　　即．又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB　因此∠ADE＝∠ACB 　　所以C，B，D，E四点共圆． 　　(Ⅱ)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12． 　　取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH． 　　由于∠A＝900，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5． 　　故C，B，D，E四点所在圆的半径为5