Question

6．有以下四个说法：
①在△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
②在△ABC中，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；
③若实数x，y满足x²+y²=1，且S=x+2y，则S的取值范围是[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]；
④若实数x，y满足x²-xy+2y²=1，且S=x²+2y²，则S的取值范围是[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$，$\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$]．
其中正确的说法有②③④．（把你认为正确的都填在横线上）

Answer 1

分析 ①利用已知条件判断B为锐角，根据诱导公式可得cosB=sin（90°-B），则A=90°-B．或A=180°-（90°-B），从而得出此三角形的形状．
②根据正弦定理，及三角形中大角对大边，可判断真假；
③利用三角换元法，求出S的范围，可判断真假；
④利用基本不等式，求出xy的范围，再求出S的范围，可判断真假．

解答 解：①在△ABC中，若sinA=cosB，
则B为锐角，则sinA=cosB=sin（90°-B），
则A=90°-B．或A=180°-（90°-B），
则△ABC是直角三角形或钝角三角形，故错误；
②在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故正确；（其中R为△ABC外接圆半径）；
③若实数x，y满足x²+y²=1，则可设x=cosα，y=sinα，
则S=x+2y=cosα+2sinα=$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]，故正确；
④若实数x，y满足x²-xy+2y²=1，即x²+2y²=1+xy≥0，
则1+xy≥2$\sqrt{2}$xy，且1+xy≥-2$\sqrt{2}$xy，
则$\frac{-1}{1+2\sqrt{2}}$=$\frac{1-2\sqrt{2}}{7}$≤xy≤$\frac{1}{2\sqrt{2}-1}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$，
故S=x²+2y²=1+xy∈[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$，$\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$]．故正确；
故正确的说法有：②③④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了三角形形状的判断，正弦定理，基本不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．