Question

(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xoy中，A(a,0)，B(0,a)，C(-4,0)，D(0,4)(a>0)，设DAOB的外接圆圆心为E。
(1)若圆E与直线CD相切，求实数a的值；
(2)设点P在圆E上，使DPCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的圆E是否存在，若存在，求出圆E的标准方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)解：直线CD方程为y＝x+4，圆心E(,)，半径r＝……2分
由题意得＝……………………3分
解得a＝4……………………4分
(2)这样的圆E存在，理由如下：
因为|CD|＝4
所以当DPCD面积为12时，点P到CD的距离为3
又圆心E到直线CD的距离为2………………6分
要使DPCD的面积等于12的点有且只有三个。
只需圆E的半径＝5
解得a＝10……………………………………8分
此时圆E的标准方程为
(x－5)²＋(y－5)²＝50…………………………10分

略