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精英家教网如图所示在△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADB=30°,求AC的长及△ABC的面积.
分析:有三角形内角和定理求得∠BAD,由直角三角形中的边角关系求出AD,余弦定理求得AC,由S△ABC=
1
2
AB•BC•sin∠B
求出△ABC的面积.
解答:解:在△ABD中,∠BAD=180°-∠B-∠ADB=90°,∴AB=BDsin30°=1,AD=BDcos30°=
3

在△ADC中,∠ADC=180°-∠ADB=150°,
由余弦定理,可知:AC=
AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC
=
3+1-2×
3
×1•cos150°
=
7

在△ABC中,由正弦定理,可知:S△ABC=
1
2
AB•BC•sin∠B=
1
2
×1×(1+2)•sin60°=
3
3
4
点评:本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,直角三角形中的边角关系,求出AD和∠ADC是解题的关键.
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