Question

如图所示在△ABC中，sin²A+sin²C=sin²B+sinA．sinC
（1）求B的度数．
（2）设H为△ABC的垂心，且

BH

•

BC

=6求AC边长的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式得到一个关系式，记作①，然后利用余弦定理表示出cosC，把①代入即可求出cosB的值，然后由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据H为△ABC的垂心，把

BH

•

BC

=6转化成

1

2

ac，然后利用b²=a²+c²-ac≥2ac-ac，求出b的最小值．

解答：解：（1）由sin²A+sin²C=sin²B+sinA．sinC，
利用正弦定理化简得：a²+c²=b^2₊ac，①
则根据余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

∴cosB=

1

2

，由B∈（0，180°），
得到：B=60°；
（2）6=

BH

•

BC

=/

BH

/•/

BC

/•cos∠CBH=/

BD

/•/

BC

/=

1

2

/

AB

/•/

BC

/=

1

2

ac
∴ac=12
∴b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=12
∴b_min=2

3

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理以及求最值解决数学问题，解本题的关键是利用正弦定理化简已知的等式，综合性比较强，要求学生掌握知识全面．