题目内容
【题目】某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设
表示学生注意力指标．
该小组发现随时间
（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：
（
且
）．
若上课后第
分钟时的注意力指标为
，回答下列问题：
（
）求
的值．
（
）上课后第分钟和下课前分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．
（
）在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长？
【答案】(1) 
.
(2) 上课后第
分钟时比下课前分钟时注意力更集中；理由见解析.
(3) 学生的注意力指标至少达到
的时间能保持
分钟．
【解析】分析：（1）由题意，
，从而求出a的值；
（2）上课后第5分钟末时，
，下课前5分钟末
，从而可得答案；
（3）分别讨论三段函数上
，从而求出的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间.
详解：（
）由题意得，当
时，
，即，
解得．
（
）∵，，
∴
，
故上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中．
（
）①当
时，由（）知，
，解得
；
②当
时，
恒成立；
③当
时，
，解得
．
综上所述，
．
故学生的注意力指标至少达到的时间能保持
分钟．
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