题目内容
【题目】(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点
任作一直线与
相交于
两点,过点
作
轴的平行线与直线
相交于点
(
为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线
(不含
轴)与直线
相交于点
,与(1)中的定直线相交于点
,证明:
为定值,并求此定值.
【答案】(1)详见解析,(2)8.
【解析】
试题分析:(1)证明动点在定直线上,实质是求动点
的轨迹方程,本题解题思路为根据条件求出动点
的坐标,进而探求动点
轨迹:依题意可设AB方程为
,代入
,得
,即
.设
,则有:
,直线AO的方程为
;BD的方程为
;解得交点D的坐标为
,注意到
及
,则有
,因此D点在定直线
上.(2)本题以算代征,从切线方程出发,分别表示出
的坐标,再化简
.设切线
的方程为
,代入
得
,即
,由
得
,化简整理得
,故切线
的方程可写为
,分别令
得
的坐标为
,则
,即
为定值8.
试题解析:(1)解:依题意可设AB方程为,代入
,得
,即
.设
,则有:
,直线AO的方程为
;BD的方程为
;解得交点D的坐标为
,注意到
及
,则有
,因此D点在定直线
上.(2)依题设,切线
的斜率存在且不等于零,设切线
的方程为
,代入
得
,即
,由
得
,化简整理得
,故切线
的方程可写为
,分别令
得
的坐标为
,则
,即
为定值8.
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