题目内容
【题目】【2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(理)】已知函数(
,
是自然对数的底数).
(1)若是
上的单调递增函数,求实数
的取值范围;
(2)当时,证明:函数
有最小值,并求函数
最小值的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析: (Ⅰ)先将单调性转化为不等式恒成立:当时,函数
恒成立,再变量分离转化为对应函数最值:
的最小值,最后根据导数求函数
最值,(Ⅱ)利用二次求导,确定导函数为单调递增函数,再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点,根据导函数符号变化规律得函数在此零点(极小值点)取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值,并根据导函数零点取值范围,利用导数方法确定最小值函数的值域.
试题解析: (Ⅰ),
依题意:当时,函数
恒成立,即
恒成立,
记,则
,
所以在
上单调递增,所以
,所以
,即
;
(Ⅱ)因为,所以
是
上的增函数,
又,
,所以存在
使得
且当时
,当
时
,所以
的取值范围是
.
又当,
,当
时,
,
所以当时,
.且有
∴.
记,则
,
所以,即最小值的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目