题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数有极值,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当有两个极值点(记为
和
)时,求证:
.
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知得x>0,且有,,由此利用导数性质能求出当函数f(x)存在极值时,实数a的取值范围是a>4.
(Ⅱ)x1,x2是x2+(2-a)x+1=0的两个解,从而x1x2=1,欲证原不等式成立,只需证明f(x)-lnx≥f(x)-x+1成立,即证lnx-x+1≤0成立,由此利用构造法和导数性质能证.
试题解析:
(Ⅰ)由已知得 ,且有
在方程中,
①当,即
时,
恒成立
此时在
上单调递增,∴函数
无极值;
②当,即
时,方程
有两个不相等的实数根:
,
且∵
,∴
∵当或
时,
;当
时,
∴函数在
上单调递减
在和
上单调递增. ∴函数
存在极值
综上得:当函数存在极值时,实数
的取值范围是
(Ⅱ)∵,
是
的两个极值点,故满足方程
即,
是
的两个解,∴
∵
而在中,
欲证原不等式成立,只需证明
∵,只需证明
成立
即证成立
令,则
当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,函数
在
上单调递减;
因此,故
,即
成立得证.
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