题目内容
14.已知△ABC中的三个内角角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$.(1)求角A的大小;
(2)若S△ABC=$\sqrt{3}$,sinB+sinC=1,求边b+c的值.
分析 (1)由正弦定理结合余弦定理化简已知等式可得b2+c2-a2=-bc,利用余弦定理可求cosA,结合范围0<A<π,可得A.
(2)由sinB+sinC=sin(B+$\frac{π}{3}$)=1,可解得:B=$\frac{π}{6}$=C,即b=c,由S△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$,解得:bc=4,从而解得b=c=2,即可得解.
解答 解:(1)∵由正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$,
∴结合余弦定理可得:cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$=$\frac{c+2b}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,整理可得:b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$,
∴由0<A<π,可得:A=$\frac{2π}{3}$.
(2)∵由(1)可得A=$\frac{2π}{3}$,
∴sinB+sinC=sinB+sin($\frac{π}{3}$-B)=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB$=sin(B+$\frac{π}{3}$)=1,
∴解得:B=$\frac{π}{6}$=C,
∴解得b=c,
∵S△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,解得:bc=4,
∴可解得:b=c=2,故可得:b+c=4.
点评 本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基本知识的考查.
A. | $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$中至少有一个小于2 | B. | $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都等于2 | ||
C. | $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都大于2 | D. | 不确定 |
A. | (-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$) | B. | (0,$\frac{π}{4}$)∪($\frac{7π}{4}$,2π) | C. | (0,$\frac{π}{4}$)∪($\frac{5π}{4}$,$\frac{7π}{4}$) | D. | ($\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$) |
A. | {1,3,9} | B. | {1,9} | C. | {3} | D. | {3,9} |
A. | 6 | B. | 3$\sqrt{2}$ | C. | 6$\sqrt{2}$ | D. | 12 |