本题共有3个小题.第1小题满分4分.第2小题满分6分. 第3小题满分8分.(文)对于数列.从中选取若干项.不改变它们在原来数列中的先后次序.得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后.打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题.为此.他取了其中第一项.第三项和第五项.(1) 若成等比数列,求的值,(2) 在, 的无穷等差数列中.是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.
(1) 若成等比数列,求的值；
(2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？

（1）d=0（2）存在b_n=4^n-1为符合条件的一个子数列，因为b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1项（3）通过计算可以得到>，从而原命题为假命题

解析试题分析：(1)由a₃²=a₁a₅，                                               ……2分
即(a₁+2d)²=a₁(a₁+4d)，得d=0.                                            ……4分
(2) a_n=1+3(n-1)，如b_n=4^n-1便为符合条件的一个子数列.                      ……7分
因为b_n=4^n-1=(1+3)^n-1=1+3+3²+…+3^n-1=1+3M,                      ……9分
这里M=+3+…+3^n-2为正整数，
所以,b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1项，得证.                   ……11分
(注：b_n的通项公式不唯一)
(3) 该命题为假命题.                                                 ……12分
由已知可得,
因此,,又,
故 ,        ……15分
由于是正整数，且，则,
又是满足的正整数，则,
,
所以，> ,从而原命题为假命题.                                ……18分
考点：本小题主要考查等差数列和等比数列是综合运算，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解以及推理论证的能力.
点评：等差数列和等比数列是高考中常考的两种特殊数列，它们的判定和通项公式、前n项和公式的应用要熟练掌握，灵活应用.

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将三角形数1，3，6，10，

记为数列

，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列

在数列中，
（1）若数列是等比数列，求实数；
（2）求数列的前项和.

已知数列的前项和满足，
（Ⅰ）求数列的前三项
（Ⅱ）设，求证：数列为等比数列，并指出的通项公式。

已知数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和.
（1）求、；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2006年开始出口，当年出口a吨，以后每一年出口量均比上一年减少10%.
（Ⅰ）以2006年为第一年，设第n年出口量为a_n吨，试求a_n.
（Ⅱ）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2006年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.9¹⁰≈0.35.

设数列满足，
（1）求；
（2）猜想出的一个通项公式并用数学归纳法证明你的结论.