题目内容
设函数
.
（1）当
时，求函数的单调区间；
（2）当
时，若
恒成立，求
的取值范围.
（1）函数
单调增区间为
，单调减区间为
；（2）
.
【解析】
试题分析：(1)此类题目考查利用导数研究函数的单调性，解法是：求函数的导数，令导数大于零，解得单调增区间（注意函数的定义域），令导数小于零，解得单调减区间（注意定义域）；（2）先将不等式
在
恒成立问题转化为
在
恒成立问题，然后可用两种方法求出参数的范围，法一是：令
，通过导数求出该函数的最小值，由这个最小值大于或等于0即可解出
的取值范围（注意题中所给的
）；法二是：先分离参数得
，再令
，只须求出该函数的最小值
，从而
，同时结合题中所给的范围可得参数
的取值范围.
试题解析：（1）函数的定义域为
1分
2分
当
时，
，为增函数
当
时，
，为减函数
当
时，
，为增函数
所以，函数单调增区间为，单调减区间为 5分
（2）因为
，
所以
即
法一：令 7分
所以
因为
在
时是增函数 8分
所以
9分
又因为
，所以
， 10分
所以
在
为增函数
要使
恒成立，只需
11分
所以 12分
法二：因为
，所以
6
令 7分
8分
因为
，所以
9分
因此时，
，那么
在上为增函数 10分
所以
所以 12分．
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值；3.一元二次不等式的解法.
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