题目内容
已知A、B、C是椭圆M：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| AC |
| BC |
| BC |
| AC |
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|
| DP |
| DQ |
分析：（1）根据点A的坐标求出a，然后根据
•
=0求出b，综合即可求出椭圆M的方程．
（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围．
| AC |
| BC |
（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围．
解答：
解：（1）∵点A的坐标为（2
，0，）
∴a=2
，椭圆方程为
+
=1 ①
又∵|
|=2|
|．，且BC过椭圆M的中心O（0，0），
∴|
|=|
|．
又∵
•
=0，
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（
，
）
将（
，
）代入①式得b2=4
∴椭圆M的方程为
+
=1
（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t
则满足题意的t的取值范围为-2＜t＜2
当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t
由
得（3k2+1）x2+6ktx+3t2-12=0
∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=（6kt）2-4（3k2+1）（3t2-12）＞0
即t2＜4+12k2 ②
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
PQ中点H（x0，y0），
则H的横坐标x0=
=
，
纵坐标y0=kx0+t=
，
D点的坐标为（0，-2）
由|
|=|
|，
得DH⊥PQ，kDH•kPQ=-1，
即
•k=-1，
即t=1+3k2． ③
∴k2＞0，∴t＞1． ④
由②③得0＜t＜4，
结合④得到1＜t＜4．
综上所述，-2＜t＜4．
解：（1）∵点A的坐标为（2| 3 |
∴a=2
| 3 |
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| b2 |
又∵|
| BC |
| AC |
∴|
| OC |
| AC |
又∵
| AC |
| BC |
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（
| 3 |
| 3 |
将（
| 3 |
| 3 |
∴椭圆M的方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t
则满足题意的t的取值范围为-2＜t＜2
当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t
由
|
得（3k2+1）x2+6ktx+3t2-12=0
∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=（6kt）2-4（3k2+1）（3t2-12）＞0
即t2＜4+12k2 ②
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
PQ中点H（x0，y0），
则H的横坐标x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| -3kt |
| 3k2+1 |
纵坐标y0=kx0+t=
| t |
| 3k2+1 |
D点的坐标为（0，-2）
由|
| DP |
| DQ |
得DH⊥PQ，kDH•kPQ=-1，
即
| ||
-
|
即t=1+3k2． ③
∴k2＞0，∴t＞1． ④
由②③得0＜t＜4，
结合④得到1＜t＜4．
综上所述，-2＜t＜4．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的标准方程问题．涉及直线与椭圆的位置关系，以及熟练运用韦达定理的方法．属于中档题．
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